Сангаку, однако…

Сегодня весь день (буквально!!!) решал задачу Сангаку с деревянной дощечки из храма Нагуро провинции Ямагата:

В равнобедренную трапецию вписаны окружности так, как на рисунке. Радиус маленькой окружности равен r, радиус большой (зелёной) — R. Найти радиус красной окружности.

Я просто сломал голову! Догадался только что!! Во японцы дают!!! Атас!!!! Как они такое только придумывали!!!!!

Попробуйте и вы. Для облегчения решения приведу ответ: (2\sqrt{R+2r}-3\sqrt{r})^2. Хотя такой ответ вряд ли что-то облегчает!

Реклама

О понятиях площади и объёма

В журнале «Кварт» №5, 1977 есть статья о понятии площади и объёма. Первая часть этой статьи будет полезна 9-классникам, чторая часть — 11-классникам. В статье даётся строгое определение объёма и площади через некоторый предел. Интересно посмотреть как делается то же, что делали и мы с помощью принципа подобия (для объёмов), принципа Кавальери и свойств площади. Статья полезна как при подготовке к предстоящему экзамену, так и для общего развития.

Луночки Гиппократа

В журнале «Квант» №5, 1971 напечатана статья о луночках Гипократа Хиосского. Такой вопрос есть в экзаменационной программе 9 класса

Что-то не так в датском королевстве

Известно, что в учебнике Погорелова (§69) за площадь сферы принимается производная функции V(R) по R:

S=\left(\frac{4}{3}\pi R^3\right)'=4\pi R^2.

Аналогичное определение можно дать и площади поверхности цилиндра:

S=\left(\pi R^2 H\right)'=2\pi R H.

Однако, если аналогичное определение дать для боковой поверхности конуса, получится неверный результат:

\left(\frac{1}{3}\pi R^2 H\right)'=\frac{2}{3}\pi R H\neq\pi RL.

(\frac{2}{3}H совсем не обязательно равно L).

Этот результат тем более удивителен, ибо площадь боковой поверхности цилиндра и конуса в нашем курсе (И. Ф. Шарыгина) определяется как площадь их плоской развёртки, а площадь сферы как некоторый предел.

(по мотивам заметки А. Смолякова в «Кванте» №8, 1982, стр. 59)

Стереометрический парадокс

26-27!!!

Возьмём произвольный треугольник. Разделим каждую его сторону на три части одинаковой длины и соединим точки деления,  как показано на рисунке

Мы видим, что в исходном треугольнике размещены три равных треугольника, каждые два из которых пересекаются по одному маленькому треугольничку. Все эти треугольники подобны исходному: большие с коэффициентом \frac{2}{3}, маленькие — с коэффициентом \frac{1}{3}. Если площадь исходного треугольника обозначить через S, то площадь каждого из трёх больших треугольников будет равна \left(\frac{2}{3}\right)^2S, а площадь каждого из трёх маленьких — \left(\frac{1}{3}\right)^2S. Площадь S исходного треугольника можно представить как сумму площадей больших треугольников минус сумма площадей маленьких — мы их сосчитали дважды. В итоге получается тождество:

S=3\left(\frac{2}{3}\right)^2S-3\left(\frac{1}{3}\right)^2S.

А теперь проделаем то же самое для треугольной пирамиды обёма V.

Больших пирамид будет 4 (по одной у каждой вершины). Объём каждой из них будет \left(\frac{2}{3}\right)^3V (на рисунке показаны только две из них). каждый две такие пирамиды пересекаются по маленькой пирамидке объёма \left(\frac{1}{3}\right)^3V. Всего таких пирамидок будет 6 (по одной у каждого ребра исходной пирамиды). Получаем

V=4\left(\frac{2}{3}\right)^3V-6\left(\frac{1}{3}\right)^3V=\frac{26}{27}V.

полученным равенством читатель может распорядиться по своему усмотрению: если V\neq0, то 26=27. Если же читатель считает, что 26\neq27, то он должен признать, что объём произвольной пирамиды равен нулю.

(по мотивам заметки А. Кушниренко в «Кванте» №2, 1977, стр. 59)

Сказочки…

Статья «Геометрический театр или Разные роли замечательных точек геометрии треугольника» написана в форме сказки и предназначена для 9-кассников при прохождении темы «Замечательные точки геометрии треугольника». После прочтения вы узнаете какие тайны скрывает теорема трилистиника? что такое теорема Мансиона? сколько четырёхлистиников растёт вокруг треугольника и многое -многое другое. Статья принята в печать в журнал «Математика в школе».

Статья «Задачи простушки, ловушки и неберушки» рассказывает о задачах «из портфеля экзаменатора». Содержит банк задач для приёма устных экзаменов.

Тригонометрическое хулиганство

В предлагаемом тексте содержится описание моего мнемотехнического правила для запоминания всех формул тригонометрии. Продаю

Назад — предыдущие записи