Стереометрический парадокс

26-27!!!

Возьмём произвольный треугольник. Разделим каждую его сторону на три части одинаковой длины и соединим точки деления,  как показано на рисунке

Мы видим, что в исходном треугольнике размещены три равных треугольника, каждые два из которых пересекаются по одному маленькому треугольничку. Все эти треугольники подобны исходному: большие с коэффициентом \frac{2}{3}, маленькие — с коэффициентом \frac{1}{3}. Если площадь исходного треугольника обозначить через S, то площадь каждого из трёх больших треугольников будет равна \left(\frac{2}{3}\right)^2S, а площадь каждого из трёх маленьких — \left(\frac{1}{3}\right)^2S. Площадь S исходного треугольника можно представить как сумму площадей больших треугольников минус сумма площадей маленьких — мы их сосчитали дважды. В итоге получается тождество:

S=3\left(\frac{2}{3}\right)^2S-3\left(\frac{1}{3}\right)^2S.

А теперь проделаем то же самое для треугольной пирамиды обёма V.

Больших пирамид будет 4 (по одной у каждой вершины). Объём каждой из них будет \left(\frac{2}{3}\right)^3V (на рисунке показаны только две из них). каждый две такие пирамиды пересекаются по маленькой пирамидке объёма \left(\frac{1}{3}\right)^3V. Всего таких пирамидок будет 6 (по одной у каждого ребра исходной пирамиды). Получаем

V=4\left(\frac{2}{3}\right)^3V-6\left(\frac{1}{3}\right)^3V=\frac{26}{27}V.

полученным равенством читатель может распорядиться по своему усмотрению: если V\neq0, то 26=27. Если же читатель считает, что 26\neq27, то он должен признать, что объём произвольной пирамиды равен нулю.

(по мотивам заметки А. Кушниренко в «Кванте» №2, 1977, стр. 59)

Реклама

Добавить комментарий

Заполните поля или щелкните по значку, чтобы оставить свой комментарий:

Логотип WordPress.com

Для комментария используется ваша учётная запись WordPress.com. Выход / Изменить )

Фотография Twitter

Для комментария используется ваша учётная запись Twitter. Выход / Изменить )

Фотография Facebook

Для комментария используется ваша учётная запись Facebook. Выход / Изменить )

Google+ photo

Для комментария используется ваша учётная запись Google+. Выход / Изменить )

Connecting to %s

%d такие блоггеры, как: