Хикиума (Аити)

Таблички Сангаку развешивались либо на шинтоистских храмах (temples), либо на святилищах (shrine — «святыня»). Вот фото таблички со святилища Хикиума (провинция Аити), 1797 года.

Вторая задача (древние японцы писали справа налево) достойна всяческого внимания и восхищения:

В правильный треугольник вписаны четыре круга, как показано на
рисунке. Найдите их радиус, если сторона треугольника равна 1.


Решение. В каждом из тупоугольных треугольников, имеем
d=2(p-y)\tan\frac{\alpha}{2}, p-y=\frac{a+x+2y}{2}-y=\frac{a+x}{2}, значит
d=(a+x)\tan\frac{\alpha}{2}. C другой стороны, в малом правильном треугольнике d=\frac{x}{\sqrt{3}}. Из равенства диаметров этих кругов имеем \tan\frac{\alpha}{2}=\frac{x}{\sqrt{3}(a+x)} .

По теореме синусов \frac{a}{\sin120^\circ}=\frac{x+y}{\sin(60^\circ+\alpha)}=\frac{y}{\sin\alpha},
откуда y=\frac{2a}{\sqrt{3}}\sin\alpha, x=\frac{2a}{\sqrt{3}}\big(\sin(60^\circ-\alpha)-\sin\alpha\big)=2a\sin(30^\circ-\alpha). Подставляя это значение x в выражение для \tan\frac{\alpha}{2},
получаем (квадратное) уравнение относительно
\tan\frac{\alpha}{2}, решение которого \tan\frac{\alpha}{2}=\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{7}}{5}. После
несложных (но немного утомительных)  вычислений, имеем
d=\frac{x}{\sqrt{3}}=\frac{2a\sin(30^\circ-\alpha)}{\sqrt{3}}=\frac{a}{2\sqrt{3}}\cdot\frac{7\sqrt{21}-27}{16-\sqrt{21}}.

Чтобы вам не показалось, что всё очень просто — попробуйте решить следующую задачу этой таблички:

Дан квадрат со стороной 1. Найдите радиусы кругов на рисунке, если известно, что они равны.


Реклама

1 комментарий (+add yours?)

  1. Обратная ссылка: Кардано и Сангаку. Встреча через века « Беляев-сан

Добавить комментарий

Заполните поля или щелкните по значку, чтобы оставить свой комментарий:

Логотип WordPress.com

Для комментария используется ваша учётная запись WordPress.com. Выход /  Изменить )

Google+ photo

Для комментария используется ваша учётная запись Google+. Выход /  Изменить )

Фотография Twitter

Для комментария используется ваша учётная запись Twitter. Выход /  Изменить )

Фотография Facebook

Для комментария используется ваша учётная запись Facebook. Выход /  Изменить )

w

Connecting to %s

%d такие блоггеры, как: