Есть такая задача на табличке святыне Хикиума провинции Аити 1795 года. Она уже упоминалась в предыдущем посте.
Дан квадрат со стороной 1. Найдите радиусы кругов на рисунке, если известно, что они равны.
Я долго сводил задачу к уравнению третьей степени. Откровенно говоря, я до сих пор не верю, что древние японцы умели решать кубические уравнения. Разве что какие нибудь специального вида. Разумеется, период Эдо, который и представляет для нас интерес (как время расцвета сангаку), был существенно позже времени жизни Кардано, однако полная изоляция Японии в это время делает невозможным проникновение каких бы то ни было знаний извне.
Тем больший интерес представляет эта задача: по всей видимости нет путей, не приводящих у кубическому уравнению.
Итак, пусть верхняя сторона единичного квадрата на рисунке разделена на отрезки и
для
можно составить кубическое уравнение
решение которого:
.
Удивительно, но эта формула даёт правильный ответ («правильный» с точностью до эксперимента в «живой геометрии»). Радиусы всех окружностей вычисляются по формуле
(или, что то же для данного
:
; вышеприведённое уравнение получается как раз приравниванием этих выражений. ).
Неужели японцы умели решать кубические уравнения?…
Во всяком случае в каталоге Ямамото их нет. Однако об этом потрясающем воображение тексте периода Эдо в следующем посте.
Мар 21, 2012 @ 20:51:29
Скажите пожалуйста, как нужно решать эту задачу, если сторона квадрата не равна единице??