Кардано и Сангаку. Встреча через века

Есть такая задача на табличке святыне Хикиума провинции Аити 1795 года. Она уже упоминалась в предыдущем посте.

Дан квадрат со стороной 1. Найдите радиусы кругов на рисунке, если известно, что они равны.

Я долго сводил задачу  к уравнению третьей степени. Откровенно говоря, я до сих пор не верю, что древние японцы умели решать кубические уравнения. Разве что какие нибудь специального вида. Разумеется, период Эдо, который и представляет для нас интерес (как время расцвета сангаку), был существенно позже времени жизни Кардано, однако полная изоляция Японии в это время делает невозможным проникновение каких бы то ни было знаний извне.

Тем больший интерес представляет эта задача: по всей видимости нет путей, не приводящих у кубическому уравнению.

Итак, пусть верхняя сторона единичного квадрата на рисунке разделена на отрезки 1-x и x для x можно составить кубическое уравнение 4x^3-3x^2+6x-3=0 решение которого:

x=\frac{1}{4}\left(1+\sqrt[3]{16\sqrt{2}+13}-\sqrt[3]{16\sqrt{2}-13}\right).

Удивительно, но эта формула даёт правильный ответ x\approx 0{,}54 («правильный» с точностью до эксперимента в «живой геометрии»). Радиусы всех окружностей вычисляются по формуле r=\frac{1-x}{\sqrt{1+x^2}} (или, что то же для данного x: r=1+x-\sqrt{1+x^2};  вышеприведённое уравнение получается как раз приравниванием этих выражений. ).

Неужели японцы умели решать кубические уравнения?…

Во всяком случае в каталоге Ямамото их нет. Однако об этом потрясающем воображение тексте периода Эдо в следующем посте.

Реклама

1 комментарий (+add yours?)

  1. Lana
    Мар 21, 2012 @ 20:51:29

    Скажите пожалуйста, как нужно решать эту задачу, если сторона квадрата не равна единице??

    Ответить

Добавить комментарий

Заполните поля или щелкните по значку, чтобы оставить свой комментарий:

Логотип WordPress.com

Для комментария используется ваша учётная запись WordPress.com. Выход / Изменить )

Фотография Twitter

Для комментария используется ваша учётная запись Twitter. Выход / Изменить )

Фотография Facebook

Для комментария используется ваша учётная запись Facebook. Выход / Изменить )

Google+ photo

Для комментария используется ваша учётная запись Google+. Выход / Изменить )

Connecting to %s

%d такие блоггеры, как: