Калейдоскоп «Кванта» о прогрессиях

Ниже приводится  калейдоскоп «Кванта» №2 за 2006 год — «Прогрессии«. Занимательно и, главное познавательно!!!

Реклама

Новый факт геометрии трапеции!!!

На Московской математической олимпиаде 2011 года для 8 класса
появилась задача, претендующая на звание нового замечательного
факта геометрии трапеции. Задача такая:

Из концов средней линии трапеции опущены перпендикуляры на её
диагонали. Доказать, что точка пересечения этих перпендикуляров
равноудалена от вершин одного из оснований.


Доказательство.

Выберем обозначения (и проведём перпендикуляры) как на рисунке.
Пусть H — середина основания AD (для основания BC
рассуждения аналогичны), тогда прямые  MH и NH параллельны
диагоналям BD и AC соответственно. Ясно, что прямые  MH и
NH содержат высоты треугольника MNP, следовательно, H
его ортоцентр. Значит, PH перпендикулярен MN, а значит и AD,
то есть медиана PH треугольника APD является его высотой, то
есть он равнобедренный: AP=PD, что и требовалось доказать.