Аккорд по ЧЕРНЫМ клавишам ЧЕРНОруцкого против БЕЛОЙ гаммы БЕЛЯева

Появление хроматизма в музыке означало переход на новый уровень как  звучания так  и смысла. Гениальное изобретение Бартоломео Христофори позволило сделать строй равномерно темперированным и уравнять в правах все тональности. Так появился ХТК.

В предыдущем посте (http://wp.me/p1eSNC-5n) речь шла о простой гамме решения одной поучительной задачи.

Внутри треугольника ABC расположены такие точки D, E и F, что точка D лежит на отрезке AE, точка E лежит на отрезке BF, точка F лежит на отрезке CD. Известно, центр окружности \Omega, описанной вокруг треугольника ABC, совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник DEF. Также дано, что угол DFE равен 90^\circ, DE/EF=5/3, радиус окружности \Omega равен  R=12, а отношение площадей S(ABC)/S(DEF)=3,2. Найдите DF

Совершенно неожиданно решение обогатилось новыми звучаниями и смыслами в исполнении моего коллеги В. В. Черноруцкого. Предоставим слово мастеру:

«Я буду считать в общем виде: радиус большой окружности равен r, а отношение площадей равно m. Сначала рисунок — он подмножество вашего, только мне не нужны окружности. Ни первые три «построительные», ни последняя «вспомогательная». Только точки: кроме данных в задаче 6 точек (AB, C, D, E, F) мне нужны O, Q, P, R — центр окружностей и точки касания вписанной в DEF  окружности.

1. Итак (сразу ваша нота СОЛЬ, но бемоль). Треугольник DEF — египетский со сторонами 3x, 4x, 5x. Причем точки касания вписанной окружности делит его стороны на отрезочки FQ=x, QD=2x, DR=2xRE=3x, EP=3x, PF=x. Ну, а площадь его, конечно, S_{DEF}=6x^2.

2. Почти ваша ДО (но диез). Прямоугольные треугольники CQO, ARO и BPO равны (по гипотенузе и катету), обозначим их другой катет через t (AR=BP=CQ=t). Причем t^2+x^2=r^2.

3.  Почти ваша ЛЯ (но диез и с педалью). Применим теорему косинусов к треугольнику ABE, заметив конечно, что \cos\angle AEB=-\cos\angle FED=-0{,}8. Имеем AB^2=(t+3x)^2+(t-3x)^2+1,6(t^2-9x^2)=3{,}6(t^2+x^2)=3{,}6r^2 (подглядели в ноту ДО).

Теперь «педаль». Повторяем те же рассуждения для треугольника CDA (тут \cos\angle CDA=-0{,}6) и получаем AC^2=(t+2x)^2+(t-2x)^2+1{,}2(t^2-4x^2)=3{,}2r^2 и для (прямоугольного) треугольника BFC получаем  BC^2=(t+x)^2+(t-x)^2=2r^2.

4. А вот и финал (любую ноту можно жать!) В треугольнике ABC оказались известны все стороны и теперь, вспомнив формулу 4RS=abc, найдем площадь S_{ABC}=\frac{AB\cdot BC\cdot CA}{4r}=\frac{\sqrt{2\cdot 3{,}2\cdot 3{,}6}}{4r}=1{,}2r^2. Вспомним теперь условие отношения площадей: m=0{,}2\frac{r^2}{x^2}, откуда x=\frac{r}{\sqrt{5m}}, и, наконец, DF=4x=\frac{4r}{\sqrt{5m}}

Всё. Маэстро уходит в тишине, а слушатели подставляют значения r=12 и  m=3,2.

Реклама

Поучительное решение поучительной задачи

… Для меня
Так это ясно, как простая гамма.

Пушкин. Моцарт и Сальери.

На одной из недавних олимпиад была предложена поучительная задача:

Внутри треугольника ABC расположены такие точки D, E и F, что точка D лежит на отрезке AE, точка E лежит на отрезке BF, точка F лежит на отрезке CD. Известно, центр окружности \Omega, описанной вокруг треугольника ABC, совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник DEF. Также дано, что угол DFE равен 90^\circ, DE/EF=5/3, радиус окружности \Omega равен  R=12, а отношение площадей S(ABC)/S(DEF)=3,2. Найдите DF

Её решение — поучительное применение метода опорных задач. Решение будет разыграно по нотам простой гаммы.

ДО. (Опорная задача-метод: построение касательной к окружности)

Вспомним, как строится касательная к окружности из точки лежащей вне круга.  На отрезке, соединяющем эту точку с центром окружности, как на диаметре строится новая окружность. Точки её пересечения с данной окружностью и есть точки, в которые нужно провести касательные.

РЕ. (Опорная задача-факт: равные углы опираются на равные дуги. Полезная модификацияв равных окружностях на равные дуги опираются равные углы)

Построим три окружности с диаметрами AO, BO и CO. Эти окружности равны так как построены на радиусах описанного круга. Вписанная в треугольник DEF окружность высекает них равные дуги  OP, OQ  и OR. (Эти дуги стягиваются равными хордами — радиусами вписанного круга.) Тогда все отмеченные дугой на рисунке углы равны (обозначим их общее значение \alpha). Обратите внимание на интересный факт: так как углы OKP и  OKQ равны, то точки Q, P и K лежат на одной  прямой.

МИ(Опорная задача: если \angle FCO=\angle FBO, то точки C, F, O и B лежат на одной окружности)

Применим теперь метод вспомогательной окружности. Из равенства \angle FCO=\angle FBO вытекает, что точки C, F, O и B лежат на одной окружности. Следовательно, угол COB равен углу CFB, который является прямым по условию. Угол A вдвое меньше угла COB, поэтому угол A равен 45^\circ.

ФА. (Опорная задача — суперформула: R=\frac{a}{2\sin A})

Согласно теореме синусов a=BC=2R\sin A=R\sqrt{2}=12\sqrt{2}.

СОЛЬ.  (Опорная задача: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, с ним не смежных)

Ответственный момент решения — мы ещё не использовали отношение DE:EF=5:3. Из этого условия вытекает, что DE=5x, EF=3x, а DF=4x, то есть треугольник DEF — египетский. Его угол DEF является внешним для треугольника AEB. Тогда \angle DEF=\angle EAB + \angle ABE=(\angle OAB-\alpha)+(\angle OBA+\alpha)=2\angle OAB=2(90^\circ-C)=180^\circ-2C.

[Угол OAB равен 90^\circ-C потому, что это при основании равнобедренного треугольника OAB угол при вершине которого равен 2C — центральны угол вдвое больше вписанного угла C.]

ЛЯ. (Опорная задача — суперформула: R=\frac{a}{2\sin A})

Немного тригонометрии: \sin2C=\sin(180^\circ-2C)=\sin\angle DEF=\frac{4}{5},  откуда \cos 2C=-\frac{3}{5} и  \sin C=\sqrt{\frac{1-\cos 2C}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}, \cos C=\frac{1}{\sqrt{5}}. Наконец c=AB=2R\sin C=2\cdot 12\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{48}{\sqrt{5}}.

СИ. (Финальный подсчёт)

Вычислим теперь все элементы данного в условии соотношения: S(ABC)/S(DEF)=3,2.

S_{DEF}=\frac{1}{2}3x\cdot 4x=6x^2.

S_{ABC}=\frac{1}{2}ac\sin (A+C)=\frac{1}{2}12\sqrt{2}\cdot\frac{48}{\sqrt{5}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}}\right)=\frac{6\cdot 3\cdot 48}{5}.

Имеем уравнение

3,2=\frac{16}{5}=\frac{6\cdot 3\cdot 48}{5\cdot 6x^2}, откуда  x=3,  значит DF=4x=12.

Ответ:  DF=12.

Молнии в равнобедренном треугольнике

Ниже помещая фото одной главы из книги И. А. Кушнира «Триумф школьной геометрии». Рассматриваемая в этой главе идея вводит «метод молний» обсуждавшийся на последнем занятии по тригонометрии и с успехом применяющийся для геометрического доказательства тригонометрических тождеств. Более того, о «методе молний» можно почитать в замечательной книге Г. З. Генкина «Геометрические решения негеометрических задач» (этюд №2).

Простите, что фото, а не скан — под рукой нету сканера. 


 Важное замечание: публикация этих фотографий осуществляется исключительно в учебных целях и не призвана к получению какой-бы то ни было выгоды — если правообладатель считает, что настоящая публикация как-то ущемляет его права, то она будет удалена по первому же требованию.

Игра «Жизнь»-2

Вторая часть трилогии Мартина Гарднера о замечательной игре «Жизнь».

Теория клеточных автоматов берет свое начало с середины пятидесятых годов, когда Джон фон Нейман поставил перед собой задачу доказать возможность существования самовоспроизводящихся автоматов. Если такую машину снабдить надлежащими инструкциями, она построит точную копию самой себя, В свою очередь обе эти машины смогут построить еще две; четыре машины построят восемь и т. д. (Это распространение самовоспроизводящихся автоматов является темой захватывающего романа Лорда Дансени «Последняя революция», написанного в 1951 г.). Нейман впервые доказал возможность существования таких машин с помощью «кинематических» моделей машины, способной передвигаться по складу запасных частей, отбирать необходимые детали и собирать новые машины, как две капли воды похожие на нее. Позднее, воспользовавшись идеей, высказанной его другом С. Уламом, фон Нейман дал более изящное и абстрактное доказательство возможности существования самовоспроизводящихся машин.

В новом доказательстве Неймана существенно использовалось понятие «однородного клеточного пространства», эквивалентного шахматной доске бесконечных размеров. Каждая клетка такого пространства может находиться в любом, но конечном числе «состояний», в том числе и в состоянии покоя (называемом пустым, или нулевым, состоянием). На состояние любой клетки оказывает воздействие конечное число соседних клеток. Во времени эти состояния пространства изменяются дискретно, в соответствии с некоторыми «правилами перехода», которые необходимо применять ко всем клеткам. Клетки соответствуют основным частям автомата с конечным числом состояний, а конфигурация из «живых» клеток — идеализированной модели такого автомата. Именно в таком клеточном пространстве и развертывается действие придуманной Конуэем игры «Жизнь». Соседними для каждой клетки в «Жизни» считаются 8 непосредственно окружающих ее клеток. Каждая клетка может находиться в двух состояниях (либо на ней стоит фишка, либо она пуста). При этом правила перехода определяются генетическими законами Конуэя — рождением, гибелью и выживанием фишек, о которых я рассказал в предыдущей главе. Применяя правила перехода к пространству, каждая клетка (или ячейка) которого могла находиться в 29 состояниях и имела 4 соседние клетки (примыкающие к данной по вертикали и горизонтали), Нейман доказал существование самовоспроизводящейся конфигурации, состоящей примерно из 200 000 клеток.

Причина столь чудовищных размеров конфигурации объяснялась тем, что Нейман намеревался применить свое доказательство к реальным автоматам и специально подобрал клеточное пространство, способное имитировать машину Тьюринга — идеальный автомат, названный так в честь его изобретателя, английского математика А. М. Тьюринга, и способный производить любые вычисления. «Погрузив» универсальную машину Тьюринга в созданную им конфигурацию, Нейман получил возможность создать «универсальный конструктор», способный построить любую конфигурацию в пустых клетках пространства, в том числе и точную копию самого себя. За время, прошедшее после смерти Неймана (последовавшей в 1957 г.), предложенное им доказательство существования самовоспроизводящейся системы (речь идет именно о «чистом» доказательстве существования, а не о построении используемой в доказательстве Неймана конфигурации) удалось значительно упростить. Рекордным по простоте явилось доказательство, найденное выпускником инженерного факультета Массачусетского технологического института Э. Р. Бэнксом. В нем используются ячейки, которые могут находиться лишь в четырех состояниях.

Самовоспроизведения в тривиальном смысле — без использования конфигураций, включающих в себя машину Тьюринга,- добиться легко. Удивительно простой пример «тривиальной» самовоспроизводящейся системы предложил примерно в 1960 г. Э. Фридкин, также из Массачусетского технологического института. В этой системе ячейки могут находиться лишь в двух состояниях, причем любая из них, как и в примере Неймана, имеет четырех соседей, а правила перехода сводятся к следующему. Каждая клетка, имеющая в момент времени t четное число (0, 2, 4) живых соседей, в момент времени t + 1 становится пустой (т. е. переходит в нулевое состояние или, если она уже находилась в нулевом состоянии, остается в нем). Каждая клетка, имеющая в момент времени t нечетное число (1, 3) соседей, в момент времени t +1 становится живой (т. е. переходит в ненулевое состояние или сохраняет его, если она уже в нем находилась). Нетрудно показать, что через 2n ходов (число n зависит от выбора конфигурации) любая исходная конфигурация живых клеток воспроизведет себя четыре раза: одна копия расположится справа, другая — слева, третья — сверху, четвертая — снизу от того (уже пустого) места, где находилась начальная конфигурация. Все четыре копии заимствуют 2n клеток у исчезнувшего организма-оригинала. Новая конфигурация через 2n шагов снова размножится (с коэффициентом воспроизводства, равным 4) и т. д. При этом число копий увеличивается в геометрической прогрессии 1, 4, 16, 64, …. На рис. 11 показаны два цикла размножения тримино в форме прямого угла. В 1967 г, Т. Виноград, тогдашний студент Массачусетского технологического института, в своей курсовой работе обобщил правила Фридкина на любое число соседей, а также на произвольную схему примыкания соседних клеток и на любое число измерений (результаты Винограда относятся к клеткам, число состояний которых характеризуется простыми числами).


Рис.11. Размножение тримино.

Множество автоматов такого рода, отличающихся друг от друга схемой примыкания соседних клеток, числом состояний и правилами перехода, исследовал С. Улам. В опубликованной им (совместно с Р. Г. Шрандтом) в 1967 г. статье «О рекурсивно определенных геометрических объектах и схемах роста» Улам описал несколько различных игр. На рис. 12 показано 46-е поколение организма, родившегося из одной-единственной фишки, стоявшей на центральной клетке. Как и в игре Конуэя, клетки в игре Улама могут находиться в двух состояниях, однако соседними считаются клетки, примыкающие к данной лишь по вертикали и по горизонтали, но не по диагонали («соседи» в представлении Неймана). Рождение фишки происходит на клетке, имеющей одного и только одного соседа, а все клетки n-го поколения погибают после рождения (n + 2)-го поколения. Иначе говоря, на любом этапе эволюции выживают лишь два последних поколения. На рис. 12 темными изображены новорожденные клетки — общее число их составляет 444. Светлые клетки предыдущего поколения — их 404 — исчезнут на следующем ходу. Обратите внимание на характерную деталь конфигурации, которую Улам назвал «обглоданной костью».


Рис.12. Конфигурация в клеточной игре, предложенной С. Уламом, которая возникает в 46-м поколении.Улам проводил эксперименты и с такими играми, в которых две конфигурации могли расти до тех пор, пока они не сталкивались. В следовавшей за столкновением «битве» одной стороне иногда удавалось одержать верх над другой, в других же случаях обе армии исчезали. Улам рассмотрел также игры на трехмерных досках — кубических «мозаиках», заполняющих все пространство. Основные результаты собраны в его статьях, опубликованных в сборнике»Очерки теории клеточных автоматов».

Аналогичные игры можно вести и на бесконечных досках, клетки которых имеют форму равносторонних треугольников и правильных шестиугольников. Несмотря на сильное внешнее отличие, по существу эти игры не вносят в анализ ничего нового, и с помощью подходящего определения «соседних» клеток их всегда можно свести к эквивалентным играм на обычной доске с клетками в форме квадратов. Соседними могут быть не только клетки, имеющие общие стороны или вершины. Например, в шахматах для клетки, на которой стоит конь, соседними (т. е. влияющими на ее состояние) считаются все клетки, на которые можно пойти конем или на которых стоят угрожающие ему фигуры. Как заметил А. Беркс, такие игры, как шахматы, шашки и го, допустимо рассматривать как клеточные автоматы со сложными окрестностями каждой клетки (окрестностью называется совокупность соседей) и правилами перехода. Противники, делая очередной ход, выбирают среди множества допустимых состояний то, которое должно привести их к определенному конечному состоянию — выигрышу.

Среди наиболее значительных вкладов в теорию клеточных автоматов самую громкую известность получил предложенный Э. Ф. Муром способ доказательства существования конфигураций, которые Дж. У. Тьюки назвал «садами Эдема». Эти конфигурации не могут возникать в процессе игры, поскольку никакая предшествующая конфигурация отличного от них типа не может их породить. «Сады Эдема» должны быть заданы с самого начала — в нулевом поколении. Поскольку конфигурации такого типа не имеют «предшественников», они не могут быть самовоспроизводящимися. Подробно метод Мура изложен в его популярной статье «Математика в биологических науках», опубликованной в Scientific American (September 1964). Более строгое изложение этого метода приведено в уже упоминавшемся сборнике под редакцией А. Беркса.

Алви Р. Смит, специалист по теории клеточных автоматов из Нью-Йоркского университета, обнаружил простой способ, позволяющий применять метод Мура к игре Конуэя. Рассмотрим два квадрата размером 5Х5 клеток. У одного из них все клетки свободны, а на центральном поле другого стоит одна фишка. Поскольку уже на следующем ходе 9 центральных клеток обоих квадратов обязательно должны оказаться идентичными (в данном случае все эти клетки будут просто пустыми), про такие квадраты обычно говорят, что они «взаимно уничтожаемы». Из теоремы Мура следует, что конфигурация типа «сад Эдема» должна возникать в игре Конуэя. К сожалению, доказательство этой теоремы ничего не говорит о том, как найти «сады Эдема», и они до сих пор не обнаружены. Конфигурация типа «сад Эдема» может оказаться и простой, и чрезвычайно сложной. С помощью одной из выведенных Муром формул Смит сумел доказать, что такую конфигурацию всегда можно заключить в квадрат со стороной в 10 миллиардов клеток, но и этот результат ненамного облегчает поиски указанной конфигурации.

Сам Смит работает над созданием клеточных автоматов, имитирующих машины для распознавания образов. Хотя сегодня такая проблема может показаться имеющей лишь чисто теоретический интерес, вполне возможно, что наступит время, когда органам зрения роботов потребуется своего рода «сетчатая оболочка» для распознавания образов. Скорости современных сканирующих устройств весьма малы по сравнению со скоростью «параллельных вычислений», которую обеспечивает сетчатка глаз животных, передающая в их мозг одновременно тысячи различных сигналов. Параллельный режим работы представляет собой фактически единственную возможность значительно повысить быстродействие современных вычислительных машин, поскольку без параллельного функционирования их быстродействие ограничено сверху предельной скоростью распространения электромагнитных сигналов в схемах миниатюризации, а именно, скоростью света. Обложка февральского номера журнала Scientific American за 1971 г., воспроизведенная на рис. 13, хорошо иллюстрирует возможности предложенной Смитом простой процедуры, с помощью которой параллельный режим работы используется в конечном одномерном клеточном пространстве для распознавания симметрии палиндромов. Каждая клетка при этом обладает некоторым множеством состояний (число их зависит от количества различных символов, которые могут появиться в структуре палиндрома), а соседними по отношению к данной клетке оказываются лишь две клетки, лежащие по разные стороны от нее.


Рис.13. Клеточный автомат.Смит символически представляет палиндром «ТОО НОТ ТО HOOT» («Слишком жарко, чтобы улюлюкать» — англ.) с помощью клеток, расположенных в верхнем ряду чертежа. При этом каждая клетка всей диаграммы может оказаться в четырех различных состояниях: буквы Т, О и Н представляются, соответственно, голубым, красным и желтым цветом, а черный цвет обозначает начало и конец палиндрома. Белые клетки в нижних рядах — это состояния покоя, или пустые клетки. Горизонтальные ряды клеток, располагающиеся под исходным рядом, характеризуют собой структуру последующих поколений, возникающих в процессе эволюции верхней конфигурации (для дискретных временных шагов) при условии выполнения определенных правил перехода. Другими словами, данный рисунок представляет собой пространственно-временную диаграмму эволюции верхнего ряда клеток, где каждый последующий ряд клеток характеризует следующее поколение в процессе превращений начальной конфигурации.

При первом переходе каждый цвет на нашей схеме сдвигается на одну клетку влево и на одну клетку вправо, за исключением концевых оттенков, которые блокируются черным цветом; при этом на очередном шаге эволюции черные клетки могут смещаться только по направлению внутрь конфигурации. Каждая клетка, с которой контактируют два цвета, переходит в новое состояние, которое символически обозначается путем деления клетки на четыре одинаковых треугольника. При этом левый треугольник окрашивается в цвет, который на предыдущем этапе располагался слева, а на правый треугольник переходит цвет, располагавшийся ранее справа. Результат, получившийся после первого хода, показан на клетках второго ряда.

Отметим также, что если соседняя пара клеток образует на своей границе (в центре) наклонный квадрат, целиком закрашенный одинаково, это указывает на «столкновение» одинаковых цветов и символически обозначается двумя черными точками, которые ставятся в верхнем и нижнем белых треугольниках, оставшихся в левой клетке. Черные точки в указанной клетке сохраняются и во всех последующих поколениях, пока справа, в непосредственном соседстве от этой клетки вновь не произойдет столкновение различных цветов — тогда черные точки в клетке стираются. В случае, когда имеет место столкновение различных цветов, точки в левой клетке пары не возникают во всех последующих поколениях, даже если справа от нее на более поздних этапах сталкиваются два одинаковых цвета.

При каждом ходе соответствующие оттенки перемещаются на одну клетку влево или вправо (в направлении, которое указывают закрашенные треугольники того же цвета) и, в соответствии с описанными выше правилами, вся процедура повторяется вновь. Если палиндром состоит из n букв, где n — четное, как в нашем примере (в случае нечетного n описанная схема слегка видоизменяется), то легко убедиться, что после n/2 ходов сохраняются лишь две соседние клетки, находящиеся в «возбужденном» состоянии. Если в левой клетке этой пары оказываются черные точки, то, следовательно, автомат распознал палиндромный характер первоначального ряда клеток (букв). В центре диаграммы можно видеть, как «сталкиваются» пары одинаковых оттенков в том же самом порядке, как они идут в исходном палиндроме в направлении от центра к левому и правому его концам. Как только распознавание произошло, левая клетка последней пары стирается, а правая клетка переходит в состояние «да», символически обозначенное здесь зеленым квадратом, вложенным в соответствующую клетку. Если же черные точки в левой клетке отсутствуют, то это будет служить признаком того, что исходная конфигурация не является палиндромом. В этом случае левая клетка становится пустой, а правая переходит в состояние «нет».

Машине Тьюринга, которая производит вычисления последовательно, для распознавания палиндрома длины n требуется, вообще говоря, n2 шагов. В нашем случае, хотя распознавание имеет место на шаге n/2, клетки в состоянии «да» на диаграмме в последующих поколениях постепенно сдвигаются вправо, что символизирует переход состояния «да» от клетки к клетке по направлению к внешней границе клеточного пространства. Конечно, не представляет большого труда разработать более эффективные устройства для распознавания палиндромов с использованием реальной электронной аппаратуры, однако в данном случае проблема состоит в том, чтобы проделать это в совершенно абстрактном одномерном клеточном пространстве, в котором информация может передаваться только от данной клетки к соседним клеткам, причем в самом начале нам не известен даже центр первоначальной последовательности символов. Как заключает Смит, переходя на чисто бытовые сравнения, после первого шага каждая из трех клеток с точками «пытается вообразить», будто как раз она находится в центре палиндрома. В то же время крайние клетки с точками на следующем шаге «испытывают горькое разочарование» вследствие столкновения различных цветов с их правой стороны. Поэтому клетка с точками, лежащая в центре, может узнать, что она действительно располагается в центре палиндрома только в n/2 поколении.

А теперь несколько слов о поразительных результатах, полученных при анализе игры Конуэя. Сам Конуэй был прекрасно осведомлен об опыте своих предшественников при разработке такого рода игр. Поэтому он, учтя все их достоинства и недостатки, при выборе своих рекурсивных правил (генетических законов) постарался прежде всего избежать двух крайностей: слишком большого числа конфигураций с быстрым и неограниченным ростом, а также слишком большого числа конфигураций, которые быстро исчезают. Приняв во внимание все эти факторы, он сумел разработать игру, отличающуюся удивительной степенью непредсказуемости и порождающую такие замечательные объекты, как пульсирующие конфигурации и мчащиеся космические корабли. Как я уже отмечал, в свое время Конуэй высказал предположение о том, что не существует ни одной исходной конфигурации, состоящей из конечного числа фишек, которая могла бы беспредельно расти (по числу фишек), пообещав награду тому, кто либо докажет, либо опровергнет это предположение.

В ноябре 1970 г. Конуэю пришлось выдать обещанную премию группе математиков из Массачусетского технологического института, занимавшейся проблемами искусственного интеллекта. В эту группу входили Р. Эйприл, М. Билер, Р. У. Госпер, Р. Хауэлл, Р. Шроппель и М. Спесинер. С помощью разработанной Спесинером программы для вывода на экран дисплея ЭВМ последовательных этапов эволюции различных конфигураций Госпер сделал поистине поразительное открытие: он обнаружил «ружье», стреляющее «глайдерами»! На рис. 14 изображена конфигурация, которая превращается в такое «ружье». На сороковом ходу из «ружья» вылетает первый «глайдер», через каждые 30 ходов — следующий «глайдер» и так до бесконечности. С появлением каждого «глайдера» число фишек на доске увеличивается на 5, в результате чего происходит неограниченный рост популяции.


Рис.14. Конфигурация, превращающаяся в «глайдерное ружье». 

«Глайдерное ружье» позволило его создателям совершить много других замечательных открытий. На серии распечаток (присланных мне Р. Т. Уэйнрайтом из Йорктаун Хайте, шт. Нью-Йорк), которые представлены на рис. 15, показано столкновение 13 «глайдеров». Рассыпавшись на части, они превращаются… в «глайдерное ружье»! На последней схеме «глайдерное ружье» ведет огонь, выстреливая один «глайдер» за другим.


Рис.15. Тринадцать «глайдеров» терпят аварию, образуя «глайдерное ружье» (75-е поколение), которое осциллирует с периодом 30, выстреливая в конце каждого периода один «глайдер». 

Та же группа исследователей обнаружила «пентадекатлон» (рис. 16),- пульсирующую конфигурацию с периодом, равным 15, способную «поглотить» любой сталкивающийся с ней «глайдер».


Рис.16. «Пентадекатлон» (в правом нижнем углу) «пожирает» «глайдеры», выстреливаемые из «ружья». 

«Пентадекатлон» может также отражать «глайдер», изменяя курс последнего на 180°. Расположив друг против друга два «пентадекатлона», можно провести между ними «теннисный матч»: они будут перекидывать «глайдер» как теннисный мячик. Совершенно неожиданные результаты возникают при рассмотрении пересекающихся потоков «глайдеров»: появляющиеся вновь конфигурации могут быть самыми причудливыми и в свою очередь испускать «глайдеры». Иногда конфигурация, образующаяся при пересечении потоков «глайдеров», начинает расти и, расширяясь, поглощает все «ружья». В других случаях осколки, вылетающие из области, в которой происходит пересечение потоков, могут вывести из строя одно или несколько «ружей». Последнее достижение группы из Массачусетского технологического института, убедительно свидетельствующее об их виртуозности,- хитроумная комбинация из восьми «ружей». В пересечении создаваемых ими потоков «глайдеров» возникает целый «завод» «космических кораблей» среднего типа, а каждые 300 ходов происходит даже «запуск» такого «корабля»!

Создание «глайдерных ружей» открывает удивительную возможность, используя игру Конуэя, смоделировать машину Тьюринга — универсальную вычислительную машину, способную (по крайней мере, в принципе) производить все те действия, которые только доступны самым совершенным из современных ЭВМ. Идея заключается в том, чтобы использовать «глайдеры» в качестве единичных импульсов для хранения и передачи информации, а также для выполнения необходимых логических операций, допускаемых схемными элементами реальных вычислительных машин. Если с помощью игры Конуэя окажется возможным создать машину Тьюринга, то сразу же встает вопрос о создании универсального конструктора, позволяющего создавать такие машины, которые могли бы полностью копировать и воспроизводить самих себя. До сих пор никому не удалось «построить» машину Тьюринга в пространстве, клетки которого могут находиться лишь в двух состояниях, а «соседство» клеток понимается по Конуэю (т. е. они должны иметь либо общую сторону, либо общую вершину). Вместе с тем, ранее было доказано, что в пространстве, все клетки которого могут находиться в двух состояниях, а «близость» клеток понимается по Нейману, построить машину Тьюринга невозможно.

Группа ученых из Массачусетса открыла много других периодически изменяющихся конфигураций (рис. 17). Одна из них, получившая название «палка», имеет период, равный 2, и представляет собой одну из разновидностей «флип-флопов». При этом ее можно как угодно растягивать, а каждое из двух ее состояний является зеркальным отражением другого.


Рис.17. «Палка» (а), «осциллятор Герца» (б) и «опрокидыватель» (в). 

Вторая конфигурация была еще раньше открыта Конуэем — это так называемый «осциллятор Герца». После каждых четырех ходов синяя точка перемещается к противоположной стороне внутренней рамки, в результате чего вся фигура «осциллирует» с периодом, равным 8. Третья конфигурация, которую обнаружил Дж. Д. Коллинс из Маклина, шт. Вайоминг, называется «опрокидыватель», потому что каждые 7 ходов у нее меняются местами верх и низ.


Рис.18. Исчезновение «чеширского кота» (а), от которого остается лишь улыбка (ж), которая в свою очередь также пропадает, превращаясь в отпечаток кошачьей лапы (з). 

«Чеширского кота» (рис. 18) открыл К. Р. Томпкинс из Короны, шт. Калифорния. На шестом ходе (ж) от кота остается лишь «улыбка», а «морда» совершенно исчезает. Следующим ходом «улыбка» тоже уничтожается, и лишь неизменный «блок» (з) — отпечаток кошачьей лапы — напоминает о том, что некогда на этом месте находился кот. «Жнейка», изображенная на рис. 19, была «построена» Д. У. Пойнером из Великобритании. Как видно из рисунка, она движется снизу вверх по бесконечной диагонали со скоростью света, осциллируя с периодом, равным 4, и оставляя за собой вдоль всего пути устойчивые фигуры, символически изображающие снопы. «К сожалению,- пишет изобретатель «жнейки»,- мне не удалось создать «сеятеля» — движущуюся фигуру, которая могла бы засевать поле с той же скоростью, с которой жнейка его убирает».


Рис.19. «Жнейка» в нулевом (слева) и в десятом (справа) поколениях.

Р. Уэйнрайт, о котором я упоминал выше, также является автором многих любопытных исследований. Например, разместив случайным образом 4800 фишек в клетках квадрата размером 120 X 120 (с плотностью фишек, равной 1/3), он проследил их эволюцию на протяжении 450 поколений. Плотность этого «первичного студня», как называет его Уэйнрайт, сильно уменьшилась и стала равняться всего лишь 1/6. Исчезнут ли все фишки в конце концов или же они будут, как утверждает исследователь, продолжать «просачиваться» из поколения в поколение с некоторой минимальной постоянной плотностью — ответ на этот вопрос пока не известен. Во всяком случае, на протяжении 450 поколений удалось проследить появление 42 «короткоживущих» «глайдеров». Уэйнрайту удалось обнаружить также 14 конфигураций, которые после первого хода превращаются в один или несколько «глайдеров». Больше всего «глайдеров» (а именно, 14) получается из фигуры, показанной на рис. 20, а. Конфигурация в форме буквы Z, найденная Коллинсом и Дж. Ландом из Пиуоки, шт. Висконсин (рис. 20, б), после 12 ходов превращается в два «глайдера», которые разлетаются в противоположных направлениях. Тот же Уэйнрайт установил, что если два «глайдера» следуют наперерез друг другу так, как это показано на рис. 20, в, то после четвертого хода все фишки с доски исчезают. Наконец, если два «легких космических корабля» движутся опасным курсом, ведущим к их столкновению (рис. 20, г), то после седьмого хода доска оказывается абсолютно пустой, как и в случае столкновения двух «глайдеров». (Этот факт установил У. У. Вагнер из Анахейма, шт. Калифорния.)


Рис.20. Каждая из конфигураций (а или б) превращается в «глайдеры».
Справа показаны два глайдера (в) и два космических корабля (г) перед столкновением.
 

Уэйнрайт, кроме того, экспериментировал с разными бесконечными полями, заполняя их правильными устойчивыми фигурами. Такие конфигурации он назвал агарами. Если, например, в агар, изображенный на рис. 21, поместить один-единственный «вирус» (т. е. одну фишку), причем так, чтобы он касался вершин четырех «блоков», то агар уничтожит «вирус», а через два хода восстановит свой прежний вид. Если же «вирус» поместить в клетку так, как это показано на рисунке (или же в любую из семи других клеток, симметрично расположенных вокруг «блоков»), то начнется неизбежное разрушение агара. «Вирус» постепенно поглотит внутри агара все активные участки, оставив на поле пустую двусторонне симметричную область, несколько напоминающую овал. Ее граница будет непрерывно расширяться во все стороны со «скоростью света», причем не исключено, что это расширение будет происходить бесконечно долго.


Рис.21. Конфигурация, «зараженная» вирусом (синяя точка в центре). 

Наиболее практичным приложением теории клеточных автоматов, как считает Бэнкс, являются, по-видимому, вопросы разработки электронных цепей, способных к самовосстановлению, а также проектирования различных специальных типов электронного оборудования. Правда, сегодня нам трудно говорить о том, насколько существенной в итоге может оказаться эта теория для развития физики и биологии. Возможно, она играет важную роль в процессах роста зародышевых клеток, при создании идентичных копий молекул ДНК, в работе нервных сетей, в генетических изменениях развивающихся популяций и т. д. Наконец, нетрудно проследить глубокую аналогию между этой теорией и процессами развития жизни. Если «первичный бульон», состоящий из различных аминокислот, имеет достаточно большую протяженность и, кроме того, если мы располагаем определенным запасом времени, то в результате действия сложных правил перехода, присущих самой структуре материи и законам природы, в этой среде может развиться популяция самовоспроизводящихся подвижных автоматов. Можно даже допустить, что наше пространство-время имеет гранулярную структуру, состоящую из отдельных дискретных модулей, а вселенная, по предположениям Фридкина и других исследователей, является огромнейшим клеточным автоматом, управляемым громадным компьютером. Если это предположение справедливо, то привычное нам понятие движения окажется всего лишь некоторой моделью более сложного явления. Точно так же движение космического корабля, рассматриваемое на элементарном микроуровне, вполне может уподобиться движению конфигураций типа «космических кораблей», перемещающихся на макроуровне,- ведь здесь фактически существует лишь некоторое изменение состояний основных клеток пространственно-временного континуума, подчиняющееся правилам перехода, пока еще нам неизвестным.

В школе эллипс? В школе эллипс!

Следующая задача впервые встречается на деревянной табличке 1822 года на храме префектуры Ивате. На сегодняшний день эта табличка утеряна.

На эллипсе, показанном на рисунке, отмечены три точки A, B и C так, что площади S_1S_2 и S_3 криволинейных секторов равны. Доказать, что площадь треугольника ABC равна \frac{3\sqrt{3}}{4}ab, где a и b — большая и малая полуоси эллипса.

Задача невозможная в школе? Но нет! Всё, что нужно — это формула S_{pr}=S_{f}\cos\phi, немного смелости и…

В классической японской геометрии эллипс рассматривался как сечение прямого кругового цилиндра. Но можно и наоборот: рассмотреть окружность как проекцию эллипса на основание цилиндра!

Проектирование  эллипса  на основание цилиндра равносильно его сжатию вдоль большой полуоси с коэффициентом b/a (малая полуось при этом не изменяется). Так как исходные  криволинейные сектора имели равные площади, то и после проектирования площади их проекций будут равны — эти площади проекций равны S_1\cos\phi=\frac{b}{a}S_1, где \phi — угол между плоскостью эллипса и плоскостью основания цилиндра. Следовательно треугольник-проекция должен  быть правильным. Радиус его описанной окружности равен малой полуоси эллипса, а площадь  S_{pr}=\frac{3b^2\sqrt{3}}{4}.  Следовательно, площадь исходного (проектируемого) треугольника равна S_{ABC}=S_{pr}/\cos\phi=\frac{a}{b}\frac{3b^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}ab.

Игра «Жизнь»

Последнее общение с 10 классом показало, что школьники не читают текстов, составляющих непременную часть математического образования. Например, оказалось, что 10-классники не знакомы с замечательной игрой «Жизнь». Ликвидирую этот пробел открытием новой рубрики в этом блоге: «математическое просвещение». Сегодня вниманию читателей предлагается выдержка из книги Мартина Гарднера «Математические головоломки и приключения» посвящённая игре «Жизнь».

 

Для игры «Жизнь» вам не понадобится партнер — в нее можно играть и одному. Возникающие в процессе игры ситуации очень похожи на реальные процессы, происходящие при зарождении, развитии и гибели колоний живых организмов. По этой причине «Жизнь» можно отнести к быстро развивающейся категории так называемых «моделирующих игр» — игр, которые в той или иной степени имитируют процессы, происходящие в реальной жизни. Для игры «Жизнь», если не пользоваться ЭВМ, вам понадобится довольно большая доска, разграфленная на клетки, и много плоских фишек двух цветов (например, просто несколько наборов обычных шашек небольшого диаметра или одинаковых пуговиц двух цветов). Можно также воспользоваться доской для игры в го, но тогда вам придется раздобыть маленькие плоские шашки, которые свободно умещаются в ячейках этой доски. (Обычные камни для игры в го не годятся потому, что они не плоские.) Можно также рисовать ходы на бумаге, но значительно проще, особенно для начинающих, играть, переставляя фишки или шашки на доске.

Основная идея игры состоит в том, чтобы, начав с какого-нибудь простого расположения фишек (организмов), расставленных по различным клеткам доски, проследить за эволюцией исходной позиции под действием «генетических законов» Конуэя, которые управляют рождением, гибелью и выживанием фишек. Конуэй тщательно подбирал свои правила и долго проверял их «на практике», добиваясь, чтобы они по возможности удовлетворяли трем условиям:

  1. не должно быть ни одной исходной конфигурации, для которой существовало бы простое доказательство возможности неограниченного роста популяции;
  2. в то же время должны существовать такие начальные конфигурации, которые заведомо обладают способностью беспредельно развиваться;
  3. должны существовать простые начальные конфигурации, которые в течение значительного промежутка времени растут, претерпевают разнообразные изменения и заканчивают свою эволюцию одним из следующих трех способов: полностью исчезают (либо из-за перенаселенности, т. е. слишком большой плотности фишек, либо, наоборот, из-за разреженности фишек, образующих конфигурацию); переходят в устойчивую конфигурацию и перестают изменяться вообще или же, наконец, выходят на колебательный режим, при котором они совершают некий бесконечный цикл превращений с определенным периодом.

 

Короче говоря, правила игры должны быть такими, чтобы поведение популяции было достаточно интересным, а главное, непредсказуемым.

Генетические законы Конуэя удивительно просты. Прежде чем мы их сформулируем, обратим внимание на то, что каждую клетку доски (которая, вообще говоря, считается бесконечной) окружают восемь соседних клеток: четыре имеют с ней общие стороны, а четыре другие — общие вершины. Правила игры (генетические законы) сводятся к следующему:

  1. выживание. Каждая фишка, у которой имеются две или три соседние фишки, выживает и переходит в следующее поколение;
  2. гибель. Каждая фишка, у которой оказывается больше трех соседей, погибает, т. е. снимается с доски, из-за перенаселенности. Каждая фишка, вокруг которой свободны все соседние клетки или же занята только одна клетка, погибает от одиночества;
  3. рождение. Если число фишек, с которыми граничит какая-нибудь пустая клетка, в точности равно трем (не больше и не меньше), то на этой клетке происходит рождение нового «организма», т. е. следующим ходом на нее ставится одна фишка.

 

Важно понять, что гибель и рождение всех «организмов» происходят одновременно. Вместе взятые, они образуют одно поколение или, как мы будем говорить, один «ход» в эволюции начальной конфигурации. Ходы Конуэй рекомендует делать следующим образом:

  1. начать с конфигурации, целиком состоящей из черных фишек;
  2. определить, какие фишки должны погибнуть, и положить на каждую из обреченных фишек по одной черной фишке;
  3. найти все свободные клетки, на которых должны произойти акты рождения, и на каждую из них поставить по одной фишке белого цвета;
  4. выполнив все эти указания, еще раз внимательно проверить, не сделано ли каких-либо ошибок, затем снять с доски все погибшие фишки «(т. е. столбики из двух фишек), а всех новорожденных (белые фишки) заменить черными фишками.

 

Проделав все операции, вы получите первое поколение в эволюции первоначальной конфигурации. Аналогичным образом получаются и все последующие поколения. Теперь уже ясно, для чего нам нужны фишки двух цветов: поскольку рождение и гибель «организмов» происходят одновременно, новорожденные фишки никак не влияют на гибель и рождение остальных фишек, и поэтому, проверяя новую конфигурацию, необходимо уметь отличать их от «живых» фишек, перешедших из предыдущего поколения. Допустить ошибку, в особенности, если вы играете впервые, очень легко. Со временем вы будете делать все меньше и меньше ошибок, однако даже опытные игроки должны очень внимательно проверять каждое новое поколение перед тем, как снимать с доски погибшие фишки и заменять черными фишками новорожденные белые.

Начав игру, вы сразу заметите, что популяция непрестанно претерпевает необычные, нередко очень красивые и всегда неожиданные изменения. Иногда первоначальная колония организмов постепенно вымирает, т. е. все фишки исчезают, однако произойти это может не сразу, а лишь после того, как сменится очень много поколений. В большинстве своем исходные конфигурации либо переходят в устойчивые (последние Конуэй называет «любителями спокойной жизни») и перестают изменяться, либо навсегда переходят в колебательный режим. При этом конфигурации, не обладавшие в начале игры симметрией, обнаруживают тенденцию к переходу в симметричные формы. Обретенные свойства симметрии в процессе дальнейшей эволюции не утрачиваются, а симметрия конфигурации может лишь обогащаться.

Конуэй высказал гипотезу, согласно которой не существует ни одной начальной конфигурации, способной беспредельно расти. Иначе говоря, любая конфигурация, состоящая из конечного числа фишек, не может перейти в конфигурацию, у которой число фишек превосходило бы некий конечный верхний предел. Это, наверное, наиболее глубокая и самая сложная задача, возникающая в игре «Жизнь». В свое время Конуэй предлагал премию в 50 долларов тому, кто до конца 1970 г. первым докажет или опровергнет его гипотезу. Опровергнуть предположение Конуэя можно было бы, например, построив конфигурацию, к которой, следуя правилам игры, все время приходилось бы добавлять новые фишки. К ним можно отнести, в частности, «ружье» (конфигурацию, которая через определенное число ходов «выстреливает» движущиеся фигуры вроде «глайдера», о котором мы еще будем говорить) или «паровоз, пускающий дым из трубы» (движущаяся конфигурация, оставляющая за собой «клубы дыма»). Результаты соперничества за объявленный Конуэем приз обсуждаются в следующей главе.

Рассмотрим теперь, что же происходит с некоторыми простыми конфигурациями. Одиночная фишка, а также любая пара фишек, где бы они ни стояли, очевидно, погибают после первого же хода.

Исходная конфигурация из трех фишек (мы будем называть ее триплетом), как правило, погибает. Выживает триплет лишь в том случае, если, по крайней мере, одна фишка граничит с двумя занятыми клетками. Пять триплетов, не исчезающих на первом же ходу, изображены на рис. 1. (При этом ориентация триплетов, т. е. как они расположены на плоскости — прямо, «вверх ногами» или косо, не играет никакой роли.) Первые три конфигурации (а, б, в) на втором ходу погибают. Относительно конфигурации в заметим, что любой диагональный ряд фишек, каким бы длинным он ни оказался, с каждым ходом теряет стоящие на его концах фишки и, в конце концов, совсем исчезает. Скорость, с которой шахматный король перемещается по доске в любом направлении, Конуэй называет «скоростью света». (Причины этого станут понятны в дальнейшем.) Пользуясь этой терминологией, можно сказать, что любой диагональный ряд фишек распадается с концов со скоростью света.


Рис.1. Эволюция пяти триплетов. 

Конфигурация г на втором ходу превращается в устойчивую конфигурацию — «блок» (квадрат размером 2Х2). Конфигурация д служит простейшим примером так называемых «флип-флопов» (кувыркающихся конфигураций, возвращающихся в исходное состояние через каждые два хода). При этом она попеременно превращается то в вертикальный, то в горизонтальный ряд из трех фишек. Конуэй называет этот триплет «мигалкой».

На рис. 2 изображена эволюция пяти тетрамино (четыре клетки, из которых состоит элемент тетрамино, связаны между собой ходом ладьи). Как мы уже видели, квадрат а относится к категории «любителей спокойной жизни». Конфигурации б и в после второго хода превращаются в устойчивую конфигурацию, называемую «ульем». Отметим попутно, что «ульи» возникают в процессе игры довольно часто. Тетрамино, обозначенное буквой г, также превращается в улей, но на третьем ходу. Особый интерес представляет тетрамино д, которое после девятого хода распадается на четыре отдельные «мигалки», Вся конфигурация носит название «навигационные огни», или «светофоры». «Светофоры» относятся к разряду флип-флопов и возникают в игре довольно часто.


Рис.2. Эволюция пяти тетрамино. 

На рис. 3 представлены 12 наиболее часто встречающихся конфигураций из числа «любителей спокойной жизни» (т. е. устойчивых конфигураций).


Рис.3. Наиболее часто встречающиеся устойчивые конфигурации.

Предоставляем читателю самостоятельно поэкспериментировать на досуге с двенадцатью фигурами пентамино (фигуры, состоящие из пяти фишек, связанных между собой так, что их клетки можно обойти ходом ладьи) и посмотреть, во что они превращаются. Оказывается, что пять из них на пятом ходу погибают, две быстро переходят в устойчивые конфигурации из семи фишек, а четыре после небольшого числа ходов превращаются в «навигационные огни». Единственным исключением в этом смысле является элемент пентамино, имеющий форму буквы r (рис. 4), превращения которого заканчиваются не столь быстро (превращения конфигурации считаются исчерпанными, если та исчезает, переходит в устойчивую конфигурацию или начинает периодически пульсировать). Конуэй проследил развитие r-образного пентамино вплоть до четыреста шестидесятого хода, после которого данная конфигурация распалась на множество «глайдеров». Конуэй пишет, что «от фигуры осталось множество мертвых (не изменяющихся) обломков и лишь несколько малых областей, в которых все еще теплилась жизнь, так что отнюдь не очевидно, что процесс эволюции должен происходить бесконечно долго». Судьба этой конфигурации подробно проанализирована в «Дополнении» к этой главе.


Рис.4. Пентамино в форме буквы «r» (a)
и упражнения для читателей.
 

Изучая эволюцию подобного рода долгожителей, Конуэй иногда использует ЭВМ с дисплеем, на экране которого он может наблюдать все изменения, происходящие на игровом поле. Без машинной программы, которую составили М. Дж. Т. Гай и С. Р. Бурн, многие особенности игры могли бы быть обнаружены лишь с большим трудом.

В качестве простых упражнений я предлагаю читателям проследить до конца эволюцию следующих фигур, изображенных на рис. 4: «латинского креста», буквы «Н», «бакена», «часов», «жабы» и «вертушки». Последние три фигуры были обнаружены С. Нортоном. Проверить себя вы можете, заглянув в «Ответы«.

Если перекладину в букве «Н» поднять на одну клетку вверх, чтобы получились «ворота» (или, как называет эту конфигурацию Конуэй, прописная буква «пи»), то произойдут совершенно неожиданные изменения. В противоположность букве «Н», эволюция которой заканчивается достаточно быстро, «ворота» оказываются весьма долгоживущей конфигурацией. Лишь после 173 ходов она распадается на пять «мигалок», шесть «блоков» и два «пруда». Конуэй проследил также эволюцию всех элементов гексамино и всех элементов гептамино, за исключением семи. При этом некоторые из элементов гексамино оказываются вовлеченными в эволюцию r-пентамино; например, этот элемент пентамино превращается в гексамино на первом же ходу.

Одним из самых замечательных открытий Конуэя следует считать конфигурацию из пяти фишек под названием «глайдер», изображенную на рис. 5. После второго хода «глайдер» немного сдвигается и отражается относительно диагонали. В геометрии такой тип симметрии называется «скользящим отражением», отсюда же и происходит название фигуры. В результате двух последующих ходов «глайдер» «выходит из пике», ложится на прежний курс и сдвигается на одну клетку вправо и на одну клетку вниз относительно начальной позиции. Выше уже отмечалось, что скорость шахматного короля в игре «Жизнь» принято называть скоростью света. Выбор Конуэя пал именно на этот термин из-за того, что в изображенной им игре большие скорости просто не достигаются. Ни одна конфигурация не воспроизводит себя достаточно быстро, чтобы двигаться с подобной скоростью. Конуэй также доказал, что максимальная скорость по диагонали составляет одну четверть скорости света. Поскольку «глайдер» воспроизводит сам себя после четырех ходов и при этом опускается на одну клетку по диагонали, то говорят, что он скользит по полю со скоростью, равной одной четвертой скорости света.


Рис.5. «Глайдер». 

Конуэй также показал, что скорость любой конечной фигуры, перемещающейся по вертикали или по горизонтали на свободные клетки, не может превышать половину скорости света. Сумеет ли читатель самостоятельно найти достаточно простую фигуру, которая движется с такой скоростью? Напомним, что скорость движения определяется дробью, в знаменателе которой стоит число ходов, необходимых для воспроизведения фигуры, а в числителе — число клеток, на которое она при этом смещается. Например, если какая-нибудь фигура за каждые четыре хода передвигается на две клетки по вертикали или по горизонтали, повторяя свою форму и ориентацию, то скорость такой фигуры будет равна половине скорости света. Надо сказать, что поиски перемещающихся по доске фигур — дело чрезвычайно сложное. Конуэю известны всего четыре такие конфигурации, которые он называет «космическими кораблями». В их число входит уже известный нам «глайдер». («Глайдер» считается «космическим кораблем» легчайшего веса, потому что все остальные корабли состоят из большего числа фишек.) Подробно об этих конфигурациях я расскажу в разделе «Ответы«.

Три изящных фигуры, изображенные на рис. 6, были открыты самим Конуэем и его сотрудниками. «Пасека» (а) представляет собой устойчивую конфигурацию, в которую после 14 ходов превращается горизонтальный ряд из семи фишек. «Блок» (квадрат) размером 5Х5 после первого же хода превращается в конфигурацию, которая возникает лишь на четвертом этапе эволюции ряда из семи фишек. Поэтому «блок» становится «пасекой» после 11 ходов. «Восьмерка» (б) — это периодически восстанавливающая себя конфигурация, открытие которой принадлежит Нортону. Она не только по форме напоминает восьмерку, но и имеет период, равный восьми. Конфигурация, изображенная на рис. 6, в, называется «пульсар СР 48-56-72». Она также периодически восстанавливает себя через каждые три хода. Состояние пульсара, изображенное на рисунке, образовано 48 фишками; на втором этапе число фишек возрастает до 56, а на третьем — до 72, после чего пульсар снова возвращается в исходное состояние, а число фишек понижается до 48. Этот пульсар образуется после 32 ходов из элемента гептамино, имеющего вид растянутой буквы «П», т. е. горизонтального ряда из пяти фишек, у которого под первой и последней фишкой располагается еще по одной фишке.


Рис.6. Три замечательные конфигурации — устойчивая (а) и периодически пульсирующие (б и в). 

Конуэй исследовал эволюцию всех горизонтальных рядов из n фишек вплоть до n = 20. Мы уже знаем, что происходит при n ≤ 4. Ряд из пяти фишек переходит в «навигационные огни», ряд из шести фишек исчезает, из семи фишек получается «пасека», из восьми — четыре «улья» и четыре «блока», девять фишек превращаются в два комплекта «навигационных огней», а ряд, состоящий из десяти фишек, переходит в «пентадекатлон» — периодически воспроизводящую себя конфигурацию с периодом, равным 15. Ряд из одиннадцати фишек эволюционирует, превращаясь в две «мигалки»; двенадцать фишек в конце концов переходят в два «улья», а тринадцать — снова в две «мигалки». Если ряд состоит из 14 или 15 фишек, то он полностью исчезает, а если фишек 16, то получается большой набор «навигационных огней», состоящий из восьми «мигалок». Эволюция ряда из 17 фишек завершается возникновением четырех «блоков»; ряды, состоящие из 18 или 19 фишек, также полностью исчезают с доски, и, наконец, эволюция ряда из 20 фишек завершается появлением двух «блоков».

Конуэй исследовал также эволюцию рядов, образованных группами из n фишек, отделенными друг от друга одной пустой клеткой. При n = 5 фишки начинают взаимодействовать друг с другом, образуя различные интересные конфигурации. Бесконечные ряды с n = 1 или n = 2 исчезают после первого же хода, а ряд вида …-3-3-3-… превращается в ряд из одних лишь «мигалок». Если же n = 4, то соответствующий ряд переходит в устойчивый ряд «ульев».

Ряд 5-5 (т. е. два набора из пяти фишек, разделенные одной свободной клеткой) после двадцать первого хода превращается в «пульсар СР 48-56-72». Ряд 5-5-5 после 42 ходов переходит в четыре «блока» и четыре «мигалки»; в результате эволюции ряда 5-5-5-5 за 95 ходов получаются четыре «пасеки» и четыре «мигалки»; ряд 5-5-5-5-5 заканчивает свои превращения после 66 ходов эффектно разбросанными по доске восемью «глайдерами» и восемью «мигалками». Затем «глайдеры» попарно сталкиваются и, разрушаясь, через 86 ходов превращаются в восемь «блоков». Ряд, состоящий из шести групп по пяти фишек в каждой (т. е. ряд вида 5-5-5-5-5-5), после 99 ходов превращается в четыре «мигалки», а эволюция следующего ряда, по замечанию Конуэя, «если наблюдать ее на экране дисплея, представляет собой совершенно изумительное зрелище». Окончательная судьба этой конфигурации прослеживается в «Дополнении«.

 

Пост получился немного длинным, но, надеюсь, полезным. Домашнее задание — написать программу, моделирующую игру «Жизнь».

Метод внутреннего пректирования

Для построения сечений многогранников существует три основных метода: метод следов, метод вспомогательных плоскостей и метод внутреннего проектирования. Первый общеизвестен — здесь Cabri-демонстрация построения. По поводу второго см. стр. 49(снизу)-50(первые три абзаца) учебника: пошаговое построение доступно в прилагаемом файле. Построение того же самого сечения третьим методом см. в прилагаемом Cabri-файле . Обозначения выбраны как и в учебнике, так что можно читать стр. 50 (4-ый абзац и далее)  и смотреть параллельно. Для запуска демонстрации пошагового построения после запуска соответствующего файла нужно нажать F11 (или Window->Replay Construction; после, в появившейся панели нажать Enter in Replay Construction Mode и я советую не тыкать клавишу «>», а топнуть Start Cicling). Кроме того, здесь лежит построение методом внутреннего проектирования сечения, заданного тремя произвольными точками на гранях: см. стр. 51 учебника (до задачи 2).