В школе эллипс? В школе эллипс!

Следующая задача впервые встречается на деревянной табличке 1822 года на храме префектуры Ивате. На сегодняшний день эта табличка утеряна.

На эллипсе, показанном на рисунке, отмечены три точки A, B и C так, что площади S_1S_2 и S_3 криволинейных секторов равны. Доказать, что площадь треугольника ABC равна \frac{3\sqrt{3}}{4}ab, где a и b — большая и малая полуоси эллипса.

Задача невозможная в школе? Но нет! Всё, что нужно — это формула S_{pr}=S_{f}\cos\phi, немного смелости и…

В классической японской геометрии эллипс рассматривался как сечение прямого кругового цилиндра. Но можно и наоборот: рассмотреть окружность как проекцию эллипса на основание цилиндра!

Проектирование  эллипса  на основание цилиндра равносильно его сжатию вдоль большой полуоси с коэффициентом b/a (малая полуось при этом не изменяется). Так как исходные  криволинейные сектора имели равные площади, то и после проектирования площади их проекций будут равны — эти площади проекций равны S_1\cos\phi=\frac{b}{a}S_1, где \phi — угол между плоскостью эллипса и плоскостью основания цилиндра. Следовательно треугольник-проекция должен  быть правильным. Радиус его описанной окружности равен малой полуоси эллипса, а площадь  S_{pr}=\frac{3b^2\sqrt{3}}{4}.  Следовательно, площадь исходного (проектируемого) треугольника равна S_{ABC}=S_{pr}/\cos\phi=\frac{a}{b}\frac{3b^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}ab.

Реклама

Добавить комментарий

Заполните поля или щелкните по значку, чтобы оставить свой комментарий:

Логотип WordPress.com

Для комментария используется ваша учётная запись WordPress.com. Выход /  Изменить )

Google+ photo

Для комментария используется ваша учётная запись Google+. Выход /  Изменить )

Фотография Twitter

Для комментария используется ваша учётная запись Twitter. Выход /  Изменить )

Фотография Facebook

Для комментария используется ваша учётная запись Facebook. Выход /  Изменить )

w

Connecting to %s

%d такие блоггеры, как: