Список Верника

В 1937 году в журнале «Математика в школе» №5 и №6 была опубликована пространная статья Фурсенко о построении треугольника по трём элеменам. В этой статье Фурсенко расположил все задачи на построение треугольника в лексикографическом порядке, решил все задачи, которые имеют решение и перечислил все задачи, которые решения не имеют.

В педагогической практике известны задачи на восстановление треугольника по трём заданным точкам. В 1982 году Верник так же, как и Фурсенко в 1937-ом, составил лексигографический список задач на восстановление треугольника. Им были выбраны самые популярные точки геометрии треугольника:

A, B, C, O — вершины треугольника и центр описанной окруж-
ности;
M_a, M_b, M_c, G — середины сторон треугольника и центр масс;
H_a, H_b, H_c, H — основания высот треугольника и ортоцентр;
T_a, T_b, T_cI — основания биссектрис треугольника и центр
вписанной окружности.

(Замечу в скобках, что мне ближе другие обозначения, но эти совпадают с нижеприведёнными на картинке.)

После чего он составил список, который называется список Верника, в котором из 139 принципиально различных задач лексикографического списка имеют решение чуть больше половины — 72 задачи. Интересно, что сам Верник, не исследовал задачи на неразрешимость, а нашел решение только 65 задач (например, у него нет решения красивой задачи №43).  Расшифровка пометок в этом списке такова:

  1. S — задача имеет решение.
  2. U — задача не имеет решения (доказано не Верником, а последователями и, как правило, с помощью барицентрических координат).
  3. L — (locus dependent) данные точки не могут распологаться как угодно, а лежат на некотором ГМТ.
  4. R — (redundant) «сводящаяся» задача: полодение одной из точек определяется двумя другими.

Вот сам список (он взят из статьи Устинова):Список Верника

Меня, как учителя, не интересуют задачи этого списка, которые не имеют решения. Мне интересны только те задачи, про которые известно, что у них решение есть. Как было отмечено выше, таких 72 штуки. На сегодняшний день мне не поддаются три задачи этого списка:

  1. №57: (A, H, I),
  2. №82: (O, T_a, I),
  3. №131: (H_a, H, I).

Буду очень признателен всем, кто знает как решить эти задачи. Разумеется, имеется в виду и интересны только синтетические (чисто геометрические) решения — чистые доказательства существования, например, в барицентрических координатах — не предлагать. Исследование на количество решений не интересует — важно получить хотя бы одно.

Я весьма признателен Григорию Борисовичу Филлиповскому за то, что он познакомил меня с этими задачами и научил решать задачу №43 списка Верника. Отдельное спасибо Владимиру Черноруцкому, который внёс свежую мысль, до которой мне было тяжело додуматься, что привело к решению нескольких задач.

Приложение.

Вот как выглядел список Верника в его оригинальной статье
Wernick, W. «Triangle Constructions with Three Located Points.» Math. Mag. 55, 227-230, 1982.

Список Верника2

 

Сама статья доступна для чтения on-line после регистрации на сайте http://www.jstor.org/.

Реклама

3 комментария (+add yours?)

  1. ВВЧ
    Апр 05, 2014 @ 22:55:47

    Сергей, Вы Успенского и Устинова не перепутали?

    Ответить

  2. vibropressru
    Мар 16, 2015 @ 15:09:06

    Беру на заметку…

    Ответить

Добавить комментарий

Заполните поля или щелкните по значку, чтобы оставить свой комментарий:

Логотип WordPress.com

Для комментария используется ваша учётная запись WordPress.com. Выход / Изменить )

Фотография Twitter

Для комментария используется ваша учётная запись Twitter. Выход / Изменить )

Фотография Facebook

Для комментария используется ваша учётная запись Facebook. Выход / Изменить )

Google+ photo

Для комментария используется ваша учётная запись Google+. Выход / Изменить )

Connecting to %s

%d такие блоггеры, как: