Опорные задачи (начало)

В этом году мне предстоит марафон, который называется «Геометрия 7-11». Не подумайте, что запятая, — тире! Хороший повод, рассказывая всю геометрию за один год, составить список опорных задач по темам всего курса планиметрии. Прошёл сентябрь и вот начало: 8 класс и 9 класс.

Реклама

Список планиметрических фактов

В последнее время всё чаще я с коллегами обсуждаю необходимость создания списка основных фактов школьной геометрии. Тех фактов, которые должен знать каждый школьник. И вот я пару дней назад сел и составил такой список. Получилось 14 страниц и 101 картинка (6,5 Мб).  Здесь есть несколько перегибов, связанных с моей любовью к геометрии треугольника. Однако если бы я дал волю этой страсти — всё могло бы оказаться ещё хуже 🙂 Критика, замечания и предложения по улучшению этого списка приветствуются. При составлении этого списка мне было приятно стоять на плечах гигантов: Гордина «Это должен знать каждый матшкольник» и Ямамото.

MajorTaskoj-01MajorTaskoj-02 MajorTaskoj-03 MajorTaskoj-04 MajorTaskoj-05 MajorTaskoj-06 MajorTaskoj-07 MajorTaskoj-08 MajorTaskoj-09 MajorTaskoj-10 MajorTaskoj-11 MajorTaskoj-12 MajorTaskoj-13 MajorTaskoj-14

Поучительное решение поучительной задачи

… Для меня
Так это ясно, как простая гамма.

Пушкин. Моцарт и Сальери.

На одной из недавних олимпиад была предложена поучительная задача:

Внутри треугольника ABC расположены такие точки D, E и F, что точка D лежит на отрезке AE, точка E лежит на отрезке BF, точка F лежит на отрезке CD. Известно, центр окружности \Omega, описанной вокруг треугольника ABC, совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник DEF. Также дано, что угол DFE равен 90^\circ, DE/EF=5/3, радиус окружности \Omega равен  R=12, а отношение площадей S(ABC)/S(DEF)=3,2. Найдите DF

Её решение — поучительное применение метода опорных задач. Решение будет разыграно по нотам простой гаммы.

ДО. (Опорная задача-метод: построение касательной к окружности)

Вспомним, как строится касательная к окружности из точки лежащей вне круга.  На отрезке, соединяющем эту точку с центром окружности, как на диаметре строится новая окружность. Точки её пересечения с данной окружностью и есть точки, в которые нужно провести касательные.

РЕ. (Опорная задача-факт: равные углы опираются на равные дуги. Полезная модификацияв равных окружностях на равные дуги опираются равные углы)

Построим три окружности с диаметрами AO, BO и CO. Эти окружности равны так как построены на радиусах описанного круга. Вписанная в треугольник DEF окружность высекает них равные дуги  OP, OQ  и OR. (Эти дуги стягиваются равными хордами — радиусами вписанного круга.) Тогда все отмеченные дугой на рисунке углы равны (обозначим их общее значение \alpha). Обратите внимание на интересный факт: так как углы OKP и  OKQ равны, то точки Q, P и K лежат на одной  прямой.

МИ(Опорная задача: если \angle FCO=\angle FBO, то точки C, F, O и B лежат на одной окружности)

Применим теперь метод вспомогательной окружности. Из равенства \angle FCO=\angle FBO вытекает, что точки C, F, O и B лежат на одной окружности. Следовательно, угол COB равен углу CFB, который является прямым по условию. Угол A вдвое меньше угла COB, поэтому угол A равен 45^\circ.

ФА. (Опорная задача — суперформула: R=\frac{a}{2\sin A})

Согласно теореме синусов a=BC=2R\sin A=R\sqrt{2}=12\sqrt{2}.

СОЛЬ.  (Опорная задача: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, с ним не смежных)

Ответственный момент решения — мы ещё не использовали отношение DE:EF=5:3. Из этого условия вытекает, что DE=5x, EF=3x, а DF=4x, то есть треугольник DEF — египетский. Его угол DEF является внешним для треугольника AEB. Тогда \angle DEF=\angle EAB + \angle ABE=(\angle OAB-\alpha)+(\angle OBA+\alpha)=2\angle OAB=2(90^\circ-C)=180^\circ-2C.

[Угол OAB равен 90^\circ-C потому, что это при основании равнобедренного треугольника OAB угол при вершине которого равен 2C — центральны угол вдвое больше вписанного угла C.]

ЛЯ. (Опорная задача — суперформула: R=\frac{a}{2\sin A})

Немного тригонометрии: \sin2C=\sin(180^\circ-2C)=\sin\angle DEF=\frac{4}{5},  откуда \cos 2C=-\frac{3}{5} и  \sin C=\sqrt{\frac{1-\cos 2C}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}, \cos C=\frac{1}{\sqrt{5}}. Наконец c=AB=2R\sin C=2\cdot 12\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{48}{\sqrt{5}}.

СИ. (Финальный подсчёт)

Вычислим теперь все элементы данного в условии соотношения: S(ABC)/S(DEF)=3,2.

S_{DEF}=\frac{1}{2}3x\cdot 4x=6x^2.

S_{ABC}=\frac{1}{2}ac\sin (A+C)=\frac{1}{2}12\sqrt{2}\cdot\frac{48}{\sqrt{5}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}}\right)=\frac{6\cdot 3\cdot 48}{5}.

Имеем уравнение

3,2=\frac{16}{5}=\frac{6\cdot 3\cdot 48}{5\cdot 6x^2}, откуда  x=3,  значит DF=4x=12.

Ответ:  DF=12.

Молнии в равнобедренном треугольнике

Ниже помещая фото одной главы из книги И. А. Кушнира «Триумф школьной геометрии». Рассматриваемая в этой главе идея вводит «метод молний» обсуждавшийся на последнем занятии по тригонометрии и с успехом применяющийся для геометрического доказательства тригонометрических тождеств. Более того, о «методе молний» можно почитать в замечательной книге Г. З. Генкина «Геометрические решения негеометрических задач» (этюд №2).

Простите, что фото, а не скан — под рукой нету сканера. 


 Важное замечание: публикация этих фотографий осуществляется исключительно в учебных целях и не призвана к получению какой-бы то ни было выгоды — если правообладатель считает, что настоящая публикация как-то ущемляет его права, то она будет удалена по первому же требованию.

Метод внутреннего пректирования

Для построения сечений многогранников существует три основных метода: метод следов, метод вспомогательных плоскостей и метод внутреннего проектирования. Первый общеизвестен — здесь Cabri-демонстрация построения. По поводу второго см. стр. 49(снизу)-50(первые три абзаца) учебника: пошаговое построение доступно в прилагаемом файле. Построение того же самого сечения третьим методом см. в прилагаемом Cabri-файле . Обозначения выбраны как и в учебнике, так что можно читать стр. 50 (4-ый абзац и далее)  и смотреть параллельно. Для запуска демонстрации пошагового построения после запуска соответствующего файла нужно нажать F11 (или Window->Replay Construction; после, в появившейся панели нажать Enter in Replay Construction Mode и я советую не тыкать клавишу «>», а топнуть Start Cicling). Кроме того, здесь лежит построение методом внутреннего проектирования сечения, заданного тремя произвольными точками на гранях: см. стр. 51 учебника (до задачи 2).

Превратности знаменитой теоремы

Как известно, термин  «средняя линия треугольника» придумал А. П. Киселёв (у Евклида этого термина нет). Но! Если вы посмотрите как доказывается теорема о средней линии треугольника в «первоисточнике» — его учебнике геометрии — наивысшем авторитете в вопросах «доступности», то с ужасом обнаружите, что эта теорема доказывается методом «от противного»! Как? — удивитесь вы.- Если можно обойтись без «противного» метода в начале курса, то почему Киселёв этого не сделал?! Что-то не так! Как же излагается эта теорема у других авторов? Некоторые «ничтоже сумняшеся» повторяли доказательство Киселёва (Шарыгин, Никитин, Погорелов), другие — резко порывали с ним (Глаголев, Атанасян, Петечук). Как же было раньше?  Если заглянуть в учебник Адамара, с которым Киселёв безусловно был знаком, то мы увидим естественное и несложное доказательство. Почему же, пренебрегая доступностью Киселёв выбрал иное доказательство? Ответить нетрудно — для подтверждения своей концепции о пропорциональности отрезков, теореме Фалеса и т.д. Концептуальность победила доступность… А жаль…

Итог. Нужно знать несколько способов доказательство теоремы о средней линии.  Семь способов доказательства можно найти в книге «Альтернативные методы решения задач» И. А. Кушнира. Доказательство Адамара доступно восьмиклассникам и без теоремы Фалеса.  Процитируем его.

«Пусть в треугольнике ABC D — середина AB, E — середина AC. Отложим на продолжении DE отрезок EF равный DE. Четырёхугольник  ADCF будет параллелограммом. Следовательно, CF будет равна и параллельна DA или, что то же самое, BD.

Четырёхугольник DBCF в свою очередь будет параллелограммом, а потому DE  параллельна BC и, как половина DF, равна половине AC.»

 

Соловейчик о Пушкине: В шести строчках — все искусство воспитания!

В заключение нечто вроде премии терпеливому читателю — краткий пушкинский курс педагогики. Куда короче — в шести строках! Наука искусства воспитания для очень занятых людей.

Однажды Пушкин записал шутливые стихи в альбом семилетнего мальчика, Павлуши Вяземского. Пушкин был верен себе в каждой строчке и в каждой шутке, и даже экспромты его гораздо содержательнее, чем кажутся с виду. Вот случай убедиться в этом: переведем веселые строчки на язык педагогических законов.

Пушкин написал:

Кн. П.П.Вяземскому

Душа моя Павел,
Держись моих правил:
Люби то-то, то-то,
Не делай того-то.
Кажись, это ясно.
Прощай, мой прекрасный.

В шести строчках — все искусство воспитания!

«Душа моя Павел» — люби ребенка, как душу свою, умей выразить любовь в ласковом слове, в ласковой интонации.

«Павел», «Кн. П.П.Вяземскому» — обращайся с ребенком как с равным, как со взрослым, невзначай подчеркивай, что он уже большой — Павел! Дети никогда не бывают для себя маленькими, они всегда «уже большие». И как бы ты ни любил ребенка, будь с ним немножко сдержан, особенно с мальчиком: «Душа моя», но «Павел».

«Держись моих правил» — сначала обзаведись, пожалуйста, своими правилами жизни, убеждениями, принципами — без них к ребенку лучше и не подходить. И это должны быть свои правила, своею жизнью выработанные, чужие правила детям внушить невозможно. Сколько неудач в воспитании из-за того, что мы пытаемся вбить в детские головы правила, которых сами не придерживаемся! Нет, «держись моих правил» — слово, убедительное для ребенка своей честностью. И не назидание, а дружеское: «держись». Совет, которым можно и не пользоваться. В необязательном «держись» поучение, необходимое ребенку, и свобода от поучения. Взрослый направляет, а действует ребенок сам.

«Люби то-то, то-то…» — люби! Все воспитание держится на одном этом слове: люби! Воспитание — это не запреты, воспитывать — пробуждать способность любить. Где любовь, там и благодарность, там волнение, там доверие, там все лучшие человеческие чувства — люби.

«Не делай того-то» — сказано категорично и без объяснений. Отметим тонкость: «не делай» — относится к автору, взрослому человеку, это ведь из его правил — «не делай», это правило взрослого, а не особое детское правило для маленьких. «Не делай» — закон взрослых, серьезных, честных людей. Не запрещено, не осудят, не накажут, но не делаю — не в моих правилах. «Не делай» и «люби» — двух этих слов достаточно. Есть поле человеческого поведения. Нижняя граница его твердая: «не делай», а верхней границы нет, она бесконечна — «люби!».

«Кажись, это ясно» — ребенку и надо внушать, что все наши установления и советы просты, понятны, безусловны, ими весь мир живет. А ты маленький, умница, ты все понимаешь с полуслова, ты не нуждаешься в длинных нотациях. Пусть ребенок не понял взрослого — не страшно. Вера в понятливость мальчика постепенно сделает его умнее: люди удивительно быстро умнеют, когда их держат за умных. И с какой легкостью говорит поэт с мальчиком о самых важных правилах жизни, с какой легкостью! «Кажись, это ясно…» Он открывается перед мальчиком. Он не просто подчеркивает равенство обращением «Павел», он в самом деле чувствует себя равным с мальчиком. Не демонстрирует равенство, а искренне проявляет его тем, что говорит с мальчиком всерьез, хоть и в шутливой форме, и говорит не заученное, а только что самим открытое.

«Прощай, мой прекрасный» — прощай! Взрослые и не должны слишком много заниматься детьми. Ребятам лучше быть в компании сверстников, отдаваться играм и своим делам. Поиграли, поговорили, объяснились в любви — и достаточно, беги к своим игрушкам, там твой мир.

И словно кольцо замыкается: «Прощай, мой прекрасный». Внушайте ребенку, что он прекрасен в глазах взрослого! Кто умеет от сердца сказать маленькому: «Мой прекрасный» — тот счастлив в детях и у него счастливые дети. Между двумя этими обращениями, «душа моя» и «мой прекрасный», заключено все искусство воспитания детей.

1977-1986 гг.

 

Назад — предыдущие записи