Патент на новый вид математического творчества

Патентую новый вид математического творчества: создание табличек сангаку. Как мне кажется, сангаку имеет право не только на изучение, но и на возрождение.  Идея предлагать школьникам создавать деревянные таблички с основными теоремами курса геометрии и вывешивать их в классе принадлежит Д. Э. Шнолю, создавать задачи и дарить их коллегам в виде сангаку — мне. То, что вы сейчас увидите — первые опыты — так что есть куда совершенствоваться в технике исполнения.

Задачи не предполагаются суперсложными — для меня в них важнее вопросы эстетики и уважения к человеку, которому эта сангаку предназначена.

Первая сангаку, естественно, для Д. Э Шноля. Когда мне удастся её сфотографировать — выложу. Пока только задачи.

Доказать, что R=(7+4\sqrt(2))r, где R и r — радиусы большого и малого круга соответственно.

Доказать, что R=9r, где R и r — радиусы большого и малого круга соответственно. Кроме того, многоугольник на рисунке — дельтоид.

Моя вторая сангаку ещё не подарена — поэтому пока умолчу имя получателя.

В верхней задаче R=\frac{R_0}{2}(3-\sqrt{5}), r=R_0(\sqrt{5}-2);

в нижней r=\frac{a}{2}(2-\sqrt{3}), где a — сторона квадрата.

Продолжение следует…

P.S. Если кто знает чем таким рисовать линии контура на дереве так, чтобы потом это что-то не расплывалось от художественного лака, буду очень признателен за совет. Тушью? Перманентный маркер — плывёт. Пока приходится исхитряться.

Реклама

В школе эллипс? В школе эллипс!

Следующая задача впервые встречается на деревянной табличке 1822 года на храме префектуры Ивате. На сегодняшний день эта табличка утеряна.

На эллипсе, показанном на рисунке, отмечены три точки A, B и C так, что площади S_1S_2 и S_3 криволинейных секторов равны. Доказать, что площадь треугольника ABC равна \frac{3\sqrt{3}}{4}ab, где a и b — большая и малая полуоси эллипса.

Задача невозможная в школе? Но нет! Всё, что нужно — это формула S_{pr}=S_{f}\cos\phi, немного смелости и…

В классической японской геометрии эллипс рассматривался как сечение прямого кругового цилиндра. Но можно и наоборот: рассмотреть окружность как проекцию эллипса на основание цилиндра!

Проектирование  эллипса  на основание цилиндра равносильно его сжатию вдоль большой полуоси с коэффициентом b/a (малая полуось при этом не изменяется). Так как исходные  криволинейные сектора имели равные площади, то и после проектирования площади их проекций будут равны — эти площади проекций равны S_1\cos\phi=\frac{b}{a}S_1, где \phi — угол между плоскостью эллипса и плоскостью основания цилиндра. Следовательно треугольник-проекция должен  быть правильным. Радиус его описанной окружности равен малой полуоси эллипса, а площадь  S_{pr}=\frac{3b^2\sqrt{3}}{4}.  Следовательно, площадь исходного (проектируемого) треугольника равна S_{ABC}=S_{pr}/\cos\phi=\frac{a}{b}\frac{3b^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}ab.

Каталог Ямамото

В 1842 году японский математик Ясуносин Ямамото собрал 104 основных факта васан (японской математики в отличие от западной — иосан) в своём труде «Sanpojojutsu». Ниже приведён английский перевод этого труда (все задачи с решениями).

Часть 1 (собственно каталог — содержание в картинках). Часть 2. Часть 3. Часть 4. Часть 5.

Кардано и Сангаку. Встреча через века

Есть такая задача на табличке святыне Хикиума провинции Аити 1795 года. Она уже упоминалась в предыдущем посте.

Дан квадрат со стороной 1. Найдите радиусы кругов на рисунке, если известно, что они равны.

Я долго сводил задачу  к уравнению третьей степени. Откровенно говоря, я до сих пор не верю, что древние японцы умели решать кубические уравнения. Разве что какие нибудь специального вида. Разумеется, период Эдо, который и представляет для нас интерес (как время расцвета сангаку), был существенно позже времени жизни Кардано, однако полная изоляция Японии в это время делает невозможным проникновение каких бы то ни было знаний извне.

Тем больший интерес представляет эта задача: по всей видимости нет путей, не приводящих у кубическому уравнению.

Итак, пусть верхняя сторона единичного квадрата на рисунке разделена на отрезки 1-x и x для x можно составить кубическое уравнение 4x^3-3x^2+6x-3=0 решение которого:

x=\frac{1}{4}\left(1+\sqrt[3]{16\sqrt{2}+13}-\sqrt[3]{16\sqrt{2}-13}\right).

Удивительно, но эта формула даёт правильный ответ x\approx 0{,}54 («правильный» с точностью до эксперимента в «живой геометрии»). Радиусы всех окружностей вычисляются по формуле r=\frac{1-x}{\sqrt{1+x^2}} (или, что то же для данного x: r=1+x-\sqrt{1+x^2};  вышеприведённое уравнение получается как раз приравниванием этих выражений. ).

Неужели японцы умели решать кубические уравнения?…

Во всяком случае в каталоге Ямамото их нет. Однако об этом потрясающем воображение тексте периода Эдо в следующем посте.

Хикиума (Аити)

Таблички Сангаку развешивались либо на шинтоистских храмах (temples), либо на святилищах (shrine — «святыня»). Вот фото таблички со святилища Хикиума (провинция Аити), 1797 года.

Вторая задача (древние японцы писали справа налево) достойна всяческого внимания и восхищения:

В правильный треугольник вписаны четыре круга, как показано на
рисунке. Найдите их радиус, если сторона треугольника равна 1.


Решение. В каждом из тупоугольных треугольников, имеем
d=2(p-y)\tan\frac{\alpha}{2}, p-y=\frac{a+x+2y}{2}-y=\frac{a+x}{2}, значит
d=(a+x)\tan\frac{\alpha}{2}. C другой стороны, в малом правильном треугольнике d=\frac{x}{\sqrt{3}}. Из равенства диаметров этих кругов имеем \tan\frac{\alpha}{2}=\frac{x}{\sqrt{3}(a+x)} .

По теореме синусов \frac{a}{\sin120^\circ}=\frac{x+y}{\sin(60^\circ+\alpha)}=\frac{y}{\sin\alpha},
откуда y=\frac{2a}{\sqrt{3}}\sin\alpha, x=\frac{2a}{\sqrt{3}}\big(\sin(60^\circ-\alpha)-\sin\alpha\big)=2a\sin(30^\circ-\alpha). Подставляя это значение x в выражение для \tan\frac{\alpha}{2},
получаем (квадратное) уравнение относительно
\tan\frac{\alpha}{2}, решение которого \tan\frac{\alpha}{2}=\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{7}}{5}. После
несложных (но немного утомительных)  вычислений, имеем
d=\frac{x}{\sqrt{3}}=\frac{2a\sin(30^\circ-\alpha)}{\sqrt{3}}=\frac{a}{2\sqrt{3}}\cdot\frac{7\sqrt{21}-27}{16-\sqrt{21}}.

Чтобы вам не показалось, что всё очень просто — попробуйте решить следующую задачу этой таблички:

Дан квадрат со стороной 1. Найдите радиусы кругов на рисунке, если известно, что они равны.


Сангаку, однако…

Сегодня весь день (буквально!!!) решал задачу Сангаку с деревянной дощечки из храма Нагуро провинции Ямагата:

В равнобедренную трапецию вписаны окружности так, как на рисунке. Радиус маленькой окружности равен r, радиус большой (зелёной) — R. Найти радиус красной окружности.

Я просто сломал голову! Догадался только что!! Во японцы дают!!! Атас!!!! Как они такое только придумывали!!!!!

Попробуйте и вы. Для облегчения решения приведу ответ: (2\sqrt{R+2r}-3\sqrt{r})^2. Хотя такой ответ вряд ли что-то облегчает!